Число с двоичной фиксированной точкой
Рисунок 1.3. Число с двоичной фиксированной точкой
Примечание
Примечание
В русском языке принято называть разделитель целой и дробной частей позиционной дроби запятой, а в английском — точкой. Современная вычислительная терминология формировалась на английском языке, и английские словосочетания fixed-point и floating-point часто переводились на русский язык буквально, поэтому словосочетания "фиксированная точка" и "плавающая точка" прочно вошли в русскую компьютерную лексику, и мы будем использовать именно их.
Современные процессоры обычно не предоставляют арифметических операций с фиксированной точкой, однако никто не запрещает программисту или разработчику компилятора реализовать такие операции на основе стандартных целочисленных операций и команд битового сдвига.
Если нам необходима точность вычислений, определенная количеством десятичных знаков (например, при подсчете рублей с точностью до копеек), нужно помнить, что большинство десятичных дробей в позиционной двоичной записи представляют собой периодические (с бесконечным числом знаков) дроби. Для обеспечения требуемой точности нам следует либо иметь дополнительные двоичные позиции, либо вместо фиксированной двоичной использовать фиксированную десятичную точку: складывать такие числа по-прежнему можно с помощью целочисленных операций, но коррекцию умножения и деления необходимо выполнять с помощью умножения (деления) на степень десяти, а не на степень двойки.
В научных и инженерных вычислениях и цифровой обработке сигналов шире применяются числа с плавающей двоичной точкой. Дело в том, что исходные данные для таких вычислений обычно являются результатами измерений физических величин. Все физически реализуемые способы измерений сопровождаются ошибками: для объяснения этого печального факта часто ссылаются на принцип неопределенности Гейзенберга [Карнап 1971], но при практических измерениях гораздо большую роль играют следующие виды ошибок.
- 1. Тепловые шумы — температурные колебания измеряемого объекта и измерительного инструмента.
- 2. Инструментальные погрешности, обусловленные различными ошибками при изготовлении или калибровке инструмента или изменением его параметров с момента последней калибровки, например, за счет механического износа.
- 3. Методологические ошибки, обусловленные не только неумением пользоваться
- инструментом, но и тем фактом, что наши инструменты не имеют непосредственного контакта с явлением, которое мы хотим измерить: например, измеряя динамику валового внутреннего продукта, мы, в действительности, измеряем также и эффекты, обусловленные динамикой денежной массы. Возможна и обратная ситуация, когда наш инструмент имеет слишком тесный контакт с измеряемым объектом и искажает его поведение. Из школьного курса физики известны такие источники методологических ошибок, как падение напряжения на вольтметре или внутреннее сопротивление амперметра.
Если с принципом Гейзенберга бороться невозможно, то тепловые и инструментальные ошибки можно уменьшать, первые — снижением температу-Pbi, а вторые — большей тщательностью изготовления и калибровки, ужесточением условий эксплуатации и хранения или совершенствованием самого инструмента (например, интерферометрический лазерный дальномер при равной тщательности изготовления будет намного точнее рулетки).
Однако ни абсолютный нуль температуры, ни абсолютная точность изготовления физически недостижимы, и даже приближение к ним в большинстве ситуаций недопустимо дорого.
Сомневающемуся в этом утверждении читателю предлагается представить, во что бы превратилась его жизнь, если бы при взвешивании продуктов в магазине сами продукты и весы охлаждались хотя бы до температуры жидкого азота, а плотницкий метр надо было бы хранить с теми же предосторожностями, что и метрологический эталон.
Поэтому на практике целесообразно смириться с погрешностями измерений, а на приборе указать точность, которую его изготовитель реально может гарантировать при соблюдении пользователем условий хранения и эксплуатации. Полному искоренению подлежат только методологические ошибки, да и с ними во многих ситуациях приходится смириться из-за неприемлемо высокой стоимости прямых измерений.
Относительно дешевый способ повышения точности — многократные измерения и усреднение результата, но этот метод повышает стоимость измерений и, если измерения производятся одним и тем же инструментом, не позволяет устранить инструментальные и методологические ошибки.
И тепловые шумы, и инструменты порождают ошибки, которые при прочих равных условиях пропорциональны измеряемой величине. Десяти метровая рулетка имеет инструментальную ошибку, измеряемую миллиметрами, а десятисантиметровый штангенциркуль — микронами. Поэтому ошибку измерений часто указывают не в абсолютных единицах, а в процентах.
При записи результатов измерений хорошим тоном считается указывать точность этих измерений и не выписывать десятичные цифры (или знаки после запятой), значения которых лежат внутри границ ошибки. Цифры перед десятичной запятой в этом случае заменяются нулями, а после нее -просто отбрасываются. Для сокращения записи больших значений, измеренных с относительно небольшой точностью, в научной и инженерной литературе используется экспоненциальная запись чисел: незначащие (в данном случае — лежащие внутри границ ошибки) младшие десятичные цифры отбрасываются, и после числа добавляется 10N, где N — количество отброшенных цифр. Обычно рекомендуют нормализовать такую запись, перемещая десятичную запятую на место после старшей цифры (смещение запятой на одну позицию влево соответствует увеличению показателя степени множителя на единицу). В соответствии с этими правилами величина 2128506 ± 20 преобразуется к виду 2,12850х106 (обратите внимание, что младший ноль в данном случае является значащим).
При бытовых измерениях обычно обходятся двумя-тремя значащими десятичными цифрами. В научных и инженерных измерениях используются и большие точности, но на практике измерения с точностью выше шестого десятичного знака встречаются разве что при разработке и калибровке метрологических эталонов. Для сравнения, цифровая телефония обходится 8-ю битами, а аналого-цифровой преобразователь бытовой звуковой карты имеет 12, реже 14 значащих двоичных разрядов. Большинство современных карт считаются 16-битными, но на практике младшие разряды их АЦП оцифровывают только тепловой шум усилителя и собственных старших разрядов, а также ошибки калибровки того и другого. Честные (т. е. такие, у которых все разряды значащие) 16-разрядные АЦП используются в профессиональной звукозаписывающей и измерительной аппаратуре, 24-разрядные АЦП относятся к прецизионной аппаратуре, а 32-разрядные на практике не применяют.
Вычислительные системы широко используют представления чисел с плавающей точкой, только не десятичной, а двоичной (Рисунок 1.4). Идея этого представления состоит в том, чтобы нормализовать позиционную двоичную дробь, избавившись от незначащих старших нулевых битов и освободив место для [возможно] значащих младших разрядов. Сдвиг, который нужен для нормализации, записывается в битовое поле, называемое порядком. Само же число называется мантиссой.
